2017年天津文科数学答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）答案

（1）B （2）B （3）C （4）C

（5）D （6）C （7）A （8）A

（9）?2 （10）1 （11）

（12） （13）4 （14）

（15）（Ⅰ）解：由，及，得.

由，及余弦定理，得.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.

由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，

，故

.

16.（Ⅰ）解：由已知，满足的数学关系式为即

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：

（Ⅱ）解：设总收视人次为万，则目标函数为.

考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大.

解方程组得点M的坐标为.

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

（17）本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.

（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，学|科网故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC-–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

18.（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.

由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.

所以，的通项公式为，的通项公式为.

（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有

，

，

上述两式相减，得

.

得.

所以，数列的前项和为.

19.【解析】（I）由，可得

，

令，解得，或.由，得.

当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（II）（i）因为，由题意知，

所以，解得.

所以，在处的导数等于0.

（ii）因为，，由，可得.

又因为，，故为的极大值点，由（I）知.

另一方面，由于，故，

由（I）知在内单调递增，在内单调递减，

故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.

由，得，.

令，，所以，

令，解得（舍去），或.

因为，，，故的值域为.

所以，的取值范围是.

（20）（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.

所以，椭圆的离心率为.

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为.

由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为，即，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线FP的斜率为.

（ii）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为.

由（i）得直线FP的方程为，与椭圆方程联立消去，整理得，解得（舍去），学.科网或.因此可得点，进而可得，所以.由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.

因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.

所以，椭圆的方程为.