2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)答案
(1)B (2)B (3)C (4)C
(5)D (6)C (7)A (8)A
(9)?2 (10)1 (11)
(12) (13)4 (14)
(15)(Ⅰ)解:由,及
,得
.
由,及余弦定理,得
.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),可得,代入
,得
.
由(Ⅰ)知,A为钝角,所以.于是
,
,故
.
16.(Ⅰ)解:由已知,满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
(Ⅱ)解:设总收视人次为万,则目标函数为
.
考虑,将它变形为
,这是斜率为
,随
变化的一族平行直线.
为直线在
轴上的截距,当
取得最大值时,
的值最大.又因为
满足约束条件,所以由图2可知,当直线
经过可行域上的点M时,截距
最大,即
最大.
解方程组得点M的坐标为
.
所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
(17)本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
(Ⅰ)解:如图,由已知AD//BC,学|科网故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,由已知,得
,故
.
所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(Ⅱ)证明:因为AD⊥平面PDC,直线PD平面PDC,所以AD⊥PD.又因为BC//AD,所以PD⊥BC,又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC.
(Ⅲ)解:过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC,DF//AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-–BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得,在Rt△DPF中,可得
.
所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
18.(Ⅰ)解:设等差数列的公差为
,等比数列
的公比为
.由已知
,得
,而
,所以
.又因为
,解得
.所以,
.
由,可得
.由
,可得
,联立①②,解得
,由此可得
.
所以,的通项公式为
,
的通项公式为
.
(Ⅱ)解:设数列的前
项和为
,由
,有
,
,
上述两式相减,得
.
得.
所以,数列的前
项和为
.
19.【解析】(I)由,可得
,
令,解得
,或
.由
,得
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
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所以,的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
.
(II)(i)因为,由题意知
,
所以,解得
.
所以,在
处的导数等于0.
(ii)因为,
,由
,可得
.
又因为,
,故
为
的极大值点,由(I)知
.
另一方面,由于,故
,
由(I)知在
内单调递增,在
内单调递减,
故当时,
在
上恒成立,从而
在
上恒成立.
由,得
,
.
令,
,所以
,
令,解得
(舍去),或
.
因为,
,
,故
的值域为
.
所以,的取值范围是
.
(20)(Ⅰ)解:设椭圆的离心率为e.由已知,可得.又由
,可得
,即
.又因为
,解得
.
所以,椭圆的离心率为.
(Ⅱ)(ⅰ)依题意,设直线FP的方程为,则直线FP的斜率为
.
由(Ⅰ)知,可得直线AE的方程为
,即
,与直线FP的方程联立,可解得
,即点Q的坐标为
.
由已知|FQ|=,有
,整理得
,所以
,即直线FP的斜率为
.
(ii)解:由,可得
,故椭圆方程可以表示为
.
由(i)得直线FP的方程为,与椭圆方程联立
消去
,整理得
,解得
(舍去),学.科网或
.因此可得点
,进而可得
,所以
.由已知,线段
的长即为
与
这两条平行直线间的距离,故直线
和
都垂直于直线
.
因为,所以
,所以
的面积为
,同理
的面积等于
,由四边形
的面积为
,得
,整理得
,又由
,得
.
所以,椭圆的方程为.