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2017年天津高考数学(文科)试题及答案

点击数:4315 次   录入时间:2017-06-09 11:24   编辑: liuxinyuan2012

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(文史类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷

注意事项:

1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:

·如果事件AB互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).

·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.

·球的体积公式.其中表示球的半径.

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1)设集合,则

ABCD

2)设,则“”是“”的

A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

ABCD

4)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为

A0 B1C2D3

5)已知双曲线的左焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为

ABCD

6)已知奇函数上是增函数.,则的大小关系为

ABCD

7)设函数,其中.的最小正周期大于,则

ABCD

8)已知函数,若关于的不等式上恒成立,则的取值范围是

ABCD

第Ⅱ卷

注意事项:

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2.本卷共12小题,共110分。

二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9)已知i为虚数单位,若为实数,则a的值为 .

10)已知,设函数的图象在点(1)处的切线为l,则ly轴上的截距为 .

11)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .

12)设抛物线的焦点为F,学 科&网准线为l.已知点Cl上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.,则圆的方程为 .

13)若a,则的最小值为 .

14)在△ABC中,AB=3AC=2.),且,则的值为 .

三. 解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15)(本小题满分13分)

中,内角所对的边分别为.已知.

I)求的值;

II)求的值.

16)(本小题满分13分)

电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:

 

连续剧播放时长(分钟)

广告播放时长(分钟)

收视人次(万)

70

5

60

60

5

25

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2.分别用,学&科网表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

I)用列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;

II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?

17)(本小题满分13分)

如图,在四棱锥中,平面.

I)求异面直线所成角的余弦值;

II)求证:平面

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.

(18)(本小题满分13分)

已知为等差数列,前n项和为是首项为2的等比数列,且公比大于0

.

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)求数列的前n项和.

(19)(本小题满分14分)

.已知函数.

(Ⅰ)求的单调区间;

(Ⅱ)已知函数的图象在公共点(x0y0)处有相同的切线,

i)求证:处的导数等于0

ii)若关于x的不等式在区间上恒成立,求b的取值范围.

(20)(本小题满分14分)

已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为的面积为.

I)求椭圆的离心率;

II)设点在线段上,,延长线段与椭圆交于点,点轴上,,且直线与直线间的距离为,四边形的面积为.

i)求直线的斜率;

ii)求椭圆的方程.

 


 

2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)答案

1B                 2B                        3C                        4C         

5D                 6C                        7A                        8A

9?2                                                   101                       11

12                134                       14

15)(Ⅰ)解:由,及,得.

,及余弦定理,得.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ),可得,代入,得.

由(Ⅰ)知,A为钝角,所以.于是

,故

.

16.(Ⅰ)解:由已知,满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:

(Ⅱ)解:设总收视人次为万,则目标函数为.

考虑,将它变形为,这是斜率为,随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距,当取得最大值时,的值最大.又因为满足约束条件,所以由图2可知,当直线经过可行域上的点M时,截距最大,即最大.

解方程组得点M的坐标为.

所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

17)本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13.

(Ⅰ)解:如图,由已知AD//BC,学|科网故或其补角即为异面直线APBC所成的角.因为AD⊥平面PDC,所以ADPD.RtPDA中,由已知,得,故.

所以,异面直线APBC所成角的余弦值为.

(Ⅱ)证明:因为AD⊥平面PDC,直线PD平面PDC,所以ADPD.又因为BC//AD,所以PDBC,又PDPB,所以PD⊥平面PBC.

(Ⅲ)解:过点DAB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC,故PFDF在平面PBC上的射影,所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BCDF//AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.ADDC,故BCDC,在RtDCF中,可得,RtDPF中,可得.

所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

18.(Ⅰ)解:设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由已知,得,而,所以.又因为,解得.所以,.

,可得.,可得,联立①②,解得,由此可得.

所以,的通项公式为的通项公式为.

(Ⅱ)解:设数列的前项和为,由,有

上述两式相减,得

.

.

所以,数列的前项和为.

19.【解析】(I)由,可得

,解得,或.,得.

变化时,的变化情况如下表:

所以,的单调递增区间为,单调递减区间为.

II)(i)因为,由题意知

所以,解得.

所以,处的导数等于0.

ii)因为,由,可得.

又因为,故的极大值点,由(I)知.

另一方面,由于,故

由(I)知内单调递增,在内单调递减,

故当时,上恒成立,从而上恒成立.

,得.

,所以

,解得(舍去),或.

因为,故的值域为.

所以,的取值范围是.

 

 

20)(Ⅰ)解:设椭圆的离心率为e.由已知,可得.又由,可得,即.又因为,解得.

所以,椭圆的离心率为.

(Ⅱ)(ⅰ)依题意,设直线FP的方程为,则直线FP的斜率为.

由(Ⅰ)知,可得直线AE的方程为,即,与直线FP的方程联立,可解得,即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=,有,整理得,所以,即直线FP的斜率为.

ii)解:由,可得,故椭圆方程可以表示为.

由(i)得直线FP的方程为,与椭圆方程联立消去,整理得,解得(舍去),学.科网或.因此可得点,进而可得,所以.由已知,线段的长即为这两条平行直线间的距离,故直线都垂直于直线.

因为,所以,所以的面积为,同理的面积等于,由四边形的面积为,得,整理得,又由,得.

所以,椭圆的方程为.

 

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